実数a,bであるとき、a*b＜aとなるようなbとは？

プログラミングの世界ではかなり有名な結城浩さんの日記に、タイトルに書かれていたような問題が出ていました。そこで、せっかくなので便乗してみたいと思います。

[web] 淡々と進める、今日の仕事 / 数学クイズ - 結城浩の日記

まず単純に考えると、bは0.5のような小数かな？と思いました。しかし、aは実数なので負の値も取り得ます。a=-5,b=0.5のような場合a*b=-2.5となり、bの条件を満たしません。

次に考えたのは、bは負の数ではないか？ということでした。しかしこれも上記と同様にして、aが負の値の場合はa*bのほうが大きくなってしまいます。

さて、ここまで来ると、bの値は定数ではなくaによって変化するような値なのではないかと思えてきました。例えばb=-aとするとbの条件を満たすのではないかな？と思い至りました。しかし、実はこれでも条件を満たしません。-1＜=a＜=0の時、a*b＞=aになってしまうのです。

ここまで直感的に考えた上で、ちゃんと数学的に考えることにしました。つまり、a-a*b＞0を常に満たすようなbを考えればいいわけです。この不等式の解は、a＜0の時b＞1、a=0の時解なし、a＞0の時b＜1となります。